Tirages de boules

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une urne contient deux boules bleues, deux boules noires et une boule jaune.
Les boules sont indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule, on note sa couleur et on la remet dans l’urne.
On note \(\text{N}\) l’événement « obtenir une boule noire ».
L’expérience est répétée trois fois de suite.
On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages.

1. Lors du premier tirage, quelle est la probabilité de tirer une boule noire ?
2. Justifier que cette situation peut être modélisée par la répétition d’épreuves identiques et indépendantes de Bernoulli.
3. Compléter l’arbre de probabilités ci-dessous. Ajouter, à droite de l’arbre de probabilité, les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\).

4. Calculer la probabilité d’obtenir trois boules noires à l’issue de l’expérience.
5. Donner la loi de probabilité de \(X\) en complétant le tableau ci-dessous. En déduire l’espérance \(E(X)\) de la variable aléatoire \(X\).
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline k&0&1&2&3 \\ \hline P(X=k) &\qquad&\qquad&0{,}288&\qquad\\ \hline \end{array}\end{align*}\)